מאז תחילת הרבע השני של המאה העשרים התפיסה השלטת בפיזיקה היא התפיסה הקוואנטית, תפיסה זו שונה מהותית מהתפיסה שהייתה מקובלת עד אז ומכונה פיזיקה קלאסית. ההבדל העקרוני בין שתי הגישות הוא בכך שהפיזיקה הקלאסית ניסתה לתאר את המציאות כפי שהיא בעוד הפיזיקה הקוואנטית מנסה לענות על השאלה מה ההסתברות לקבל תוצאה מסוימת בניסוי נתון.
את המשוואה הקוואנטית הראשונה הציג הפיזיקאי האוסטרי ארווין שרודינגר ב 1926 [1], משוואה זו הסבירה היטב את הצבעים (אורכי הגל) שבולע גז המימן כאשר מאירים אותו. יחד עם זאת המשוואה כשלה בתיאור תוצאת הניסוי שהציעו שטרן וגרלך [2]:
איור 1: ניסוי שטרן גרלך (מקור האיור [4])
בניסוי זה אלומת אטומים ניטרליים (הניסוי המקורי נעשה באטומי כסף אבל לאחר מכן הוא נעשה גם עם אטומי מימן), מועברת דרך שדה מגנטי לא אחיד, על פי התיאוריה של שרודינגר היינו אמורים לקבל פס אחיד במוצא המגנט (מסומן ב (4) באיור לעיל) אבל בפועל מקבלים שני כתמים מובחנים (מסומן ב (5) באיור לעיל).
כדי להסביר את התופעה הציע הפיזיקאי האוסטרי וולפגנג פאולי ב 1927 תיקון למשוואה של שרודינגר ויצר מושג תיאורטי חדש הנקרא ספין, המשוואה של פאולי הסבירה את תוצאות הניסוי של שטרן-גרלך היטב. בהמשך הראה הפיזיקאי הבריטי פול דיראק שהמשוואה של פאולי אינה רק התאמה אמפירית מתבקשת אלא גם מחויבת משיקולי תורת היחסות.
בעוד המשוואות המתמטיות שהוצגו היו ברורות, המשמעות שלהם הייתה ברורה פחות. לגבי האלקטרון נשאלו שתי שאלות: היכן נמצא האלקטרון כאשר לא מודדים אותו? ומה הקשר בין העולם הקלאסי שאנו חיים בו להתנהגות הקוואנטית של חלקיקים אלמנטריים כגון האלקטרון?
לגבי השאלה הראשונה נחלקו גדולי הפיזיקאים. הפיזיקאי הדני-יהודי נילס בוהר טען שאין משמעות לשאלה היכן נמצא האלקטרון בין המדידות מאחר שהפיזיקה צריכה לעסוק רק במה שאפשר למדוד. (בדומה לטענה שעץ שנופל ביער כאשר איש אינו שומע אותו לא מפיק קול אלא גלי לחץ אוויר בלבד, דרוש צופה בעל הכרה שיתרגם את גלי לחץ האוויר בעזרת אוזניו ומוחו לקול). אסכולה מרכזית זאת בתורת הקוונטים נקראת אסכולת קופנהגן (על שם קופנהגן בירת דנמרק). לעומתו טענו הפיזיקאים אלברט איינשטיין ודויד בוהם (שניהם יהודים) שמשוואות תורת הקוואנטים מאפשרות לחשב את מיקום האלקטרון בכל רגע נתון אם רק נדע את תנאי ההתחלה, והעובדה שתורת הקוואנטים אינה מאפשרת חיזוי מדויק של תוצאות הניסוי אינה משקפת עניין מהותי אלא פגם בידיעתנו את תנאי ההתחלה של האלקטרון.
את הקשר בין העולם הקוואנטי לעולם הקלאסי יצר הפיזיקאי פול אהרנפסט שהראה שניתן לקבל משוואות הדומות למשוואות הקלאסיות מתוך המשוואות הקוואנטיות אם רק נסתפק בחישוב ממוצעים של תוצאות ניסוי במקום בחישוב של תוצאת הניסוי המדויקת.
במאמר שפורסם לאחרונה [4] הושוותה גישתו של בוהם לגישתו של אהרנפסט בכל הנוגע לתורת הקוונטים ונידונו הצדדים השווים והשונים בין הגישות השונות כאשר מושא הניתוח הוא האלקטרון עם “ספין” כפי שהציע פאולי.
מסתבר שאיברים שונים המופיעים במשוואות של בוהם אינם קיימים במשוואות של אהרנפסט והם נעלמים בעקבות המיצוע. אכן, ניתן להראות שמעבר למרחקים מסוימים לאיברים אלו אין חשיבות מאחר שפונקציית הגל של אלקטרון חופשי נוטה להתרחב, ובכך לצמצם את השפעתם של אותם גורמים התלויים בשיפוע הפונקציה. מאידך גורמים אחרים כגון אלה שאחראים לתוצא של שטרן וגרלך נשמרים בשני התיאורים, גם בתיאור של אהרנפסט וגם בתיאור של בוהם.
נושא נוסף שנידון במאמר זה [4] ובמאמר קודם [5] הוא האנלוגיה בין תורת הזרימה ותורת הקוואנטים עליה עמד לראשונה ארווין מדלונג [6]. מסתבר שבצורת הצגה מסוימת משוואות הזרימה של גז כגון אוויר והמשוואות היסודיות של מכניקת הקוואנטים דומות מאד. הדמיון מסתיים בכך שאת האיבר במשוואות הזרימה של הגז המתאר הפרשי לחצים מחליף בתיאור הקוואנטי איבר הנקרא “פוטנציאל קוואנטי” שמקורו אינו ברור.
יחד עם זאת תיאור מתמטי מפורט (הנקרא בשפה המקצועית “אנליזה ווריאציונית”) מראה שניתן להסביר איבר זה כנובע מתורת המדידה שיסד פישר [7] ונקרא “אינפורמציית פישר”. פישר שלא היה פיזיקאי אלא סטטיסטיקן שחיפש דרך לתאר גודל המגביל את סטיית התקן של משתנה אקראי. שכן ככל שסטיית התקן מוגבלת יותר כך המידע אודות אותו משתנה אקראי טוב יותר. כעת התברר [5] שאינפורמציית פישר היא המקור לפוטנציאל הקוואנטי, ואם מחברים אותה לשאר האיברים המופיעים בתיאור רגיל של זורם קלאסי מקבלים את משוואות המכניקה הקוואנטית.
אמנם מדלונג [6] לא דן באלקטרון של פאולי אלא באלקטרון של שרודינגר, מה שהוביל לשני חסרונות בולטים. האחד מנקודת ראותה של המכניקה הקוואנטית הוא התעלמות מהספין של פאולי שפירושה כמובן אי התאמה לניסוי של שטרן גרלך אבל גם מעבר לכך חוסר אפשרות לבנות את הטבלה המחזורית של החומר המבוסס על מושג הספין. מנקודת הראות של תורת הזרימה, החיסרון הבולט של הזורם של מדלונג הוא מוגבלותו לתיאור סוג אחד של זורמים, זורמים חסרי מערבולות הנקראים בשפה המקצועית גם “זרימות פוטנציאליות”. התברר [5] שאם לוקחים בחשבון את תורת פאולי ומציגים אותה בעזרת משתנים שהציע הולנד [8] ומשלבים את אינפורמציית פישר אפשר להגיע לתיאור זרימתי של מכניקה קוואנטית המכיל גם את מושג הספין וגם זרימות עם מערבולות.
בעבר נטען שאין למושג הספין פירוש קלאסי, זהו מושג שקיים רק ברמת המציאות הקוואנטית של הטבע וניתן להבין אותו רק כמושג מופשט אבל לא באופן קונקרטי. עתה [5] מתברר שיש לו פרשנות טבעית ביותר על ידי מושג המערבולת.
איור 2: הזהות בין מערבולת לספין (מקור האיור [9])
Bibliography
[1] Schrödinger, E. Annalen der Physik; Wiley-VCH: Weinheim, Germany, 1926; Volume 81, p. 109; English translation appears in Schrödinger, E. Collected Papers in Wave Mechanics; Blackie and Sons: London, UK, 1928; p. 102.
[2] Gerlach, W.; Stern, O. (1922). “Der experimentelle Nachweis des magnetischen Moments des Silberatoms”. Zeitschrift für Physik. 8 (1): 110–111.
[3] Pauli, W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Z. Phys. 1927, 43, 601–623.
[4] Yahalom, A. Pauli’s Electron in Ehrenfest and Bohm Theories, a Comparative Study. Entropy 2023, 25, 190. https://doi.org/10.3390/e25020190 .
[5] Yahalom, A. Fisher Information Perspective of Pauli’s Electron. Entropy 2022, 24, 1721. https://doi.org/10.3390/e24121721
[6] Madelung, E. Quantum theory in hydrodynamical form. Z. Phys. 1926, 40, 322.
[7] Fisher, R.A. On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1922, 222, 309–368.
[8] Holland, P.R. The Quantum Theory of Motion; Cambridge University Press: Cambridge, UK, 1993.
[9] Asher Yahalom (2018) The fluid dynamics of spin, Molecular Physics, 116:19-20, 2698-2708, DOI: 10.1080/00268976.2018.1457808
