על שיכוך רעידות במישור הזמן והתדר

שיכוך רעידות הוא נושא חשוב ביישומי בקרה. את האופציות לפתרון בעיה זו ניתן לחלק לשתי גישות עיקריות: בקרה בחוג סגור ובקרה בחוג פתוח.
כשמדובר בבקרה בחוג סגור, נדרשים אמצעי מדידה, אלגוריתם המטפל בדרישות היציבות ושיכוך רעידות ואלקטרוניקה המבצעת אלגוריתם זה. אלגוריתם הבקרה יכול להיות מסובך וקשה למימוש נוכח אילוצים שונים של המערכת.
בקרה בחוג פתוח נעשית על ידי השפעה על אות ייחוס שנשלח למערכת המבוקרת. יתרון הגישה, שהיא איננה דורשת אלגוריתמי בקרה מסובכים הממומשים בחוג סגור. היא יכולה להיות מיושמת על המערכת שמבוקרת בחוג סגור, לצורך שיפור תכונותיה הדינמיות. שיטה זאת נקראת בקרה בשתי דרגות חופש.
את הבקרה בחוג פתוח ניתן לחלק לשתי גישות: האחת בתחום הזמן והשנייה בתחום התדר. נציג בקצרה את שתי השיטות ונשווה בניהן.
המערכת המטופלת
לצורך הדיון ניקח את מערכת הבאה: עגלה המונעת על ידי מנוע ומצלמה מחוברת אליה דרך מוט גמיש. מיקום העגלה מבוקר בחוג סגור, כך שפונקצית התמסורת מאות הייחוס למיקום העגלה היא מסנן מעביר נמוכים . הינו מדד לטיב המערכת, ככל שהוא גדול יותר כך המערכת מגיבה מהר יותר. אמפליטודת תגובת התדירות מוצגת באיור: 1א’ (קו אדום). פונקצית התמסורת ממיקום העגלה לסטיית המצלמה היא , כאשר מנת ריסון ו-תדר טבעי של המצלמה. אמפליטודת תגובת התדר של מוצגת באיור: 1א’ (קו כחול). סה”כ פונקצית התמסורת מפקודת מיקום העגלה לסטיית המצלמה היא מכפלת שתי הפונקציות. אמפליטודת תגובת התדר של המכפלה מוצגת באיור: 1ב’.
הערה: מקרה זה מניח כי תדירות התנודות של המצלמה גבוה מרוחב הסרט של העגלה. יתכנו מקרים אחרים בהם התדר המסונן יהיה קטן מרוחב הסרט של מערכת הסרוו. ערך התדר המסונן אינו משפיע על דרך הפתרון בשתי השיטות, אך משפיע על תגובת העגלה.
גישה בתחום הזמן:
שיטה זאת מנצלת את תכונת ההתאבכות ההורסת של שני הגלים. לצורך דוגמה ניקח מערכת הבאה
תגובת המדרגה שלה מוצגת באיור 2א’. על מנת להימנע מרעידות, נפצל את הכניסה לשתי פעימות עם הפרש של ביניהן, כך שסכום האמפליטודות יהיה 1. סה”כ הכניסה תהיה התגובה הגלית של הפעימה השנייה (קו כחול) תייצר התאבכות הורסת אם התגובה הגלית הראשונה (קו אדום). את שני הגלים ואת סכומם (קו שחור) ניתן לראות באיור: 2ב’.
שיטה בתחום התדר:
שיטה זו מנצלת את הקשר שבין צורת תגובת התדירות לתגובה בזמן. בצורה איכותית ניתן להעריך את התגובה בזמן לפי תגובת התדר בעזרת כלל האצבע הבא: ככל שיש פיק גבוה וצר יותר בתגובת התדירות כך תהיה תגובה בזמן בעלת תנודות גדולות יותר ולזמן ארוך יותר (ריסון נמוך).
נתבונן בתגובת התדירות של המערכת ב-(1), המוצגת באיור 3א’ (קו סגול), ניתן לראות שישנו פיק צר וגבוה יחסית. במידה ונצרף למערכת זאת מסנן פשוט, בעל תגובת התדירות המוצגת בקו כחול באותו איור, נקבל בסה”כ תגובת התדירות הכוללת ללא פיק גבוה בתדר תהודה, (בקו הירוק).
נתבונן בתגובה בזמן, לכניסת מדרגה, של המערכת המקורית והמערכת עם שני המסננים לעיל: בזמן ובתדר. ראה איור 3ב’.
מהדוגמה באיור 3 ניתן לראות שעבור מקרה נתון ניתן לקבל תוצאות דומות בשתי השיטות.

השפעת המסננים על אות כניסה ותנועת העגלה
ראינו עד כה את ההשפעה החיובית של מסננים על תנועת המצלמה. נתבונן עתה בהשפעתם על תנועתה של העגלה. הפעם נניח כי פקודה היא לא מדרגה פשוטה אלא מדרגה מוחלקת על ידי מסנן מעביר נמוכים מסדר ראשון עם קבוע זמן של 0.01 שניה (רוחב הסרט של המסנן גבוה פי 20 מרוחב הסרט של מערכת העגלה).
באיור 4 אפשר לראות שלשתי התגובות ישנו מאפיין של פיצול התגובה לשתי פעימות. ניתן להבחין כי לשתי התגובות אין תגובת יתר, אך הדבר אינו נכון באופן כללי.

תגובת התדירות של מסנן המתוכנן בתחום הזמן
נתבונן כעת בתגובת התדירות של מסנן המתוכנן בתחום הזמן.
ניקח את המסנן בו השתמשנו בדוגמה הקודמת:

פונקצית תגובת התדירות שלו נתונה על ידי
אמפליטודה ופאזה שלה נתונים על ידי
נקודות קיצון של האמפליטודה יתקבלו ב-

על ידי גזירה נוספת נוכל להוכיח כי עבור אי זוגי אלה נקודות מינימה. נתבונן עתה בהצגה גרפית של האמפליטודה והפזה.
אפשר לראות בבירור כי ישנה מחזוריות של נקודות המינימום עם מחזור של , כלומר המסנן שתוכנן במישור הזמן מסנן את התדר הדרוש ואת האי זוגיות כל הכפולות שלו באותה מידה.
נשווה בין שני המסננים במישור התדר, מאיור 5 אפשר לראות שישנו דמיון בין שני המסננים גם במישור התדר.
דוגמא למציאת מסנן בתחום התדר בעזרת בקר ACS
נתונה מערכת תת מרוסנת אשר תגובתה (קו צהוב) למדרגה מוחלקת (קו אדום) מוצגת באיור 6. על מנת לתכנן את המסנן עלינו לדעת את התדר הדרוש ועוצמת ההנחתה. על ידי שימוש בסמנים נמצא את תדירות התנודות, מודגש בצהוב באיור 6.
נעביר את הכניסה למערכת דרך המסנן שאמפליטודת תגובת התדירות שלו מוצגת באיור 7א’ ותגובת המדרגה המוחלקת של המערכת יחד עם המסנן מוצגת באיור 7ב’. אפשר לראות כי המערכת אינה נכנסת לרווית זרם על ידי התבוננות בקו ירוק שבאיור 7ב’ אפשר לראות שמרבית התנודות נעלמו. ניתן יהיה לשפר את התוצאה על ידי כיוונות עדין יותר של המסנן או הוספת מסנן נוסף.

סיכום
התמקדנו בשתי שיטות לתכנות המסנן בחוג פתוח למניעת רעידות: האחת בתחום הזמן והשנייה בתחום התדר. ראינו את הדואליות בין שתי השיטות הן בתגובה בציר הזמן והן בתגובות התדירות שלהן. הצגנו, על ידי דוגמה מעשית שמומשה בעזרת בקר ACS, את הפשטות והיעילות של תכנות המסנן בתחום התדר.

מקסים אפנסנקו ובעז קרמר ACS בקרת תנועה.