מאת: פרופ’ סטפאן ג’יי. לודוויק, פרופ’ ג’וזף איי. פרופטה, Aerotech, פיטסבורג, פנסילבניה, ארה”ב
כללי
האלגוריתמים לביטול הרמוניות שימושיים ביותר בביטול שגיאות עקיבה במערכות תנועה מדויקות. הם ישימים כאשר פקודת הסרוו או ההפרעה מחזוריות במידה רבה. דוגמאות לכך נפוצות ביותר במכונות כלים, במערכות אחסון נתונים ובבדיקות של חיישנים. כל תנועה תנודתית או סיבובית יוצרת שגיאה מחזורית כלשהי, הן בציר התנועה הפעיל והן בצירי התנועה המשניים. עיקרון המודל הפנימי של תיאורית הבקרה קובע שאלגוריתמים שתוכננו לדחות באופן מושלם אותות כניסה חייבים לכלול מודל של כניסה כזו, ומכאן שאלגוריתמים לביטול הרמוניות מכילים מחולל אותות מחזוריים. בשילוב עם בקר קונבנציונלי מכוונן היטב, הופכים אלגוריתמים אלו לכלים שימושיים עבור מתכנן מערכות סרוו.
עיקרון המודל הפנימי
עיקרון המודל הפנימי של תיאורית הבקרה הוא תפישה פשוטה באופן מטעה, אם כי רבת יכולת. הוא נוסח לראשונה באמצע שנות השבעים ובאופן כללי אפשר לבטא אותו כעיקרון הקובע שאלגוריתם מכיל מחולל (או מודל) של אות כניסה כלשהו, אם יש לעקוב אחר הכניסה הזו עם שגיאת מצב יציב שהיא מאופסת באופן זהה. איור 1 מדגים את התפישה הזו באמצעות תרשים בלוקים. על מנת שהשגיאה בין אות הייחוס שבפקודה לבין האותות הנמדדים תהיה אפס, חייב אלגוריתם הבקרה להיות מסוגל לחולל את האות הזה בעצמו בהיעדר כל אות כניסה נוסף.
דוגמה מעשית מוכרת של עיקרון המודל הפנימי היא השימוש באיבר של אינטגרטור (I) בבקר PID המשותף. חשוב על המקרה של דרגת מיצוב מונעת במנוע ליניארי שמתוארת במודל ללא מסה, ועם כוח בקרה המופעל עליה. בקרה יחסית ובקרת נגזרת לבדן מספיקות כדי לייצב את המערכת, אך כל כוח הפרעה קבוע (הנובע מהתהליך, מכוח המשיכה, מכבלים וכיו”ב) דורש שתהיה שגיאה מסוימת בין מיקום הייחוס לבין המיקום הנמדד, על מנת שאיבר הבקרה היחסי דמוי הקפיץ ייצור אות במוצא. הפרעה קבועה מופיעה במודל ככניסה של אות מדרגה עם טרנספורם Laplace של 1/s. הוספה של איבר זה – שהוא אינטגרטור – אל אלגוריתם הבקרה, מאפשרת למוצא לגדול לערך קבוע על פי הנדרש, כדי לבטל את ההפרעה ולהשיג שגיאת אפס במצב היציב.
עיקרון המודל הפנימי אמנם כללי ביותר, אבל מימושים מוגדרים שלו מופיעים לעתים קרובות ביישומים של בקרת תנועה מדויקת. אפשר לתת מענה לכל כניסה שהיא (בין אם מסלול בפקודה או הפרעה) שחוזרת על עצמה במחזור ידוע כלשהו, באמצעות בקר שמכיל מחולל אותות מחזוריים. אלו הם הבקרים עם פעולה חוזרת שבהם נדון בחלק הבא. אם אותות כניסה אלו מוגבלים בתדירות, אפשר להציג אותם כסכום של עקומות סינוס. במקרה כזה אפשר להתייחס אליהן עם אלגוריתמים לביטול הרמוניות שמיישמים את עיקרון המודל הפנימי עם סדרה של מתנדים באלגוריתם הבקרה.
בקרי פעולה חוזרת
- איור 1. עיקרון המודל הפנימי דורש שהבקר יכיל את המודל של אותות הכניסה על מנת שיוכל לחולל את אות המוצא המתאים בהעדר שגיאת אילוץ כלשהי של המצב היציב.
- איור 2. יחידת השהיה בלולאת המשוב של אלגוריתם הבקרה בזמן רציף מספקת את עיקרון המודל הפנימי עבור אותות כניסה מחזוריים, אבל מכילה למעשה מספר גדול (באופן תיאורטי מספר אין–סופי) של מתנדים, על מנת לשכפל אות כניסה מחזורי אקראי.
מחולל אותות מחזוריים באלגוריתם הבקרה באמצעות משוב מספק את עיקרון המודל הפנימי ומאפשר עקיבה מושלמת אחר פקודות מחזוריות ודחייה מושלמת של הפרעות מחזוריות. הסוג של אלגוריתמי בקרה שבאופן כולל נותן מענה לבעיה זו נקרא בקרת פעולה חוזרת. אלגוריתמים אלו הופיעו לראשונה בספרות המקצועית בתחילת שנות השמונים במאמר מאת אינויו (Inoue) אשר השתמש בעיקרון המודל הפנימי כבבסיס ל”בקר עם פעולה חוזרת”. מחברי מאמר זה השתמשו בבקר עם יחידת השהיה בלולאת המשוב כדי ליצור מחולל אותות מחזוריים. עם זאת, במישור הזמן הרציף יחידת ההשהיה תואמת לבקר עם מספר אין–סופי של קטבים עם יציבות שולית. מצב זה מתואר באיור 2. לאות עם מעברים חדים אקראיים במישור הזמן נדרש מחולל אותות עם רוחב פס גדול שיכול ליצור את התכולה בתדירות גבוהה. ייצוב מערכות אלו מהווה אתגר מאחר שהקטבים של הבקר בתדירות הגבוהה נוטים ליצור פעולות גומלין עם תכונות דינמיות במבנה המכני של מנגנון הסרוו, שלא נוספו למודל או שהן משתנות, פעולות שעלולות להוביל לחוסר יציבות. ניתוח דומה של אלגוריתמים לבקרת פעולה חוזרת במישור הזמן הבדיד מראה את אותה הבעיה.
אפשר להבין את היחס בין הרצף החוזר במישור הזמן לבין מיקומי הקטבים במישור התדר על ידי כך שניזכר בניתוח סדרת פורייה (Fourier). אפשר לייצג כל אות מחזורי באופן שווה ערך באמצעות סיכום של פונקציות פשוטות של תנודות – כלומר עקומות סינוס. מכאן שאפשר להתייחס לבקרי הפעולה החוזרת כאשר מפעילים אותם במערכות ליניאריות, כאל סדרה של מתנדים לתדירות יחידה שנוספה לאלגוריתם הבקרה על מנת לבטל אות כניסה שהוא עצמו סכום של עקומות סינוס בעלות תדירות יחידה. פירוש זה הוא בעל ערך רב מאחר שהוא מאפשר לנו להשתמש בכלי מוכר, תרשים בודה (Bode), לצורך חישוב שולי היציבות ותגובת המצב היציב של מערכות אלו.
ביטול הרמוניות
- איור 3. אלגוריתם ביטול ההרמוניות (C(s ממומש בארכיטקטורה של יחידת תוספת. כך נשמר (Gc(s, בקר PID הסטנדרטי, ללא שינוי ומאפשר לאלגוריתמי ביטול ההרמוניות להיות מאופשרים ומושבתים באופן מיידי.
- איור 4. תרשימי בודה של איבר ביטול ההרמוניות בתדירות יחידה עם מעבר מראה עוצמה גבוהה ביותר (אין–סופית) בתדירות של המתנד.
נתייחס למקרה המיוחד של בקרת פעולה חוזרת על מספר מוגבל של תדירויות בדידות בלבד כאל ביטול הרמוניות. מקרים אלו נפוצים ביותר ביישומים של בקרת תנועה מדויקת והם כוללים:
אדוות (ripple) בכוח ובמומנט
עומסים לא מאוזנים על צירים סיבוביים
פרופילי פקודות מחזוריים
פסיעה של ההברגה בבורג ושל גלגל שיניים
יש לשים לב שחלק מההפרעות יכולות להיות מחזוריות בזמן בעוד שהפרעות אחרות הן מחזוריות במיקומן במהלך כך שתדירות מסוימת עלולה להשתנות. בניתוח הבא נניח שהפעולה מתבצעת במהירות קבועה בתדירות ידועה.
מצאנו ששימושי לממש אלגוריתמי ביטול הרמוניות באופן של “יחידות תוספת” (plug–un) אשר מאפשר להם להיות מאופשרים ומושבתים על פי הצורך. תרשים הבלוקים באיור 3 מייצג את אלגוריתם ביטול ההרמוניות
כ-C, את בקר PID כ-Gc ואת הציוד (מאסה חופשית) כ-Gp. בהיצמדות לעיקרון המודל הפנימי אלגוריתם ביטול ההרמוניות מכיל מתנדים במקביל, אחד לכל תדירות שקיימת בתוך אות ההפרעה.
אפשר לראות את השפעת אלגוריתם ביטול ההרמוניות במישור התדר על ידי צפייה במקרה של הפרעה בתדירות יחידה. לכל מתנד יחיד באלגוריתם יש ייצוג באמצעות טרנספורם לפלאס בזמן רציף:
(1)
איור 4 מציג שרטוט של תגובת התדר של אלגוריתם ביטול ההרמוניות כאשר האיבר של ההגבר עובר באופן רציף מאפס (משבית את המתנד) לערכים גבוהים יותר. הנקודה החשובה שיש לשים לב אליה היא שהעוצמה היא אין–סופית בתדירות של המתנד. ניזכר בדוגמה קודמת של אינטגרטור מוכר המספק שגיאה של אפס במצב היציב בהפרעות קבועות, ונוכל להתייחס לבלוק ביטול ההרמוניות פשוט כאינטגרטור בתדירויות שאינן אפס.
שגיאת העקיבה הנובעת מהפרעות גם היא אפס בתדירות של המתנד. אפשר לראות זאת אם מתייחסים לתרשים הבלוקים של איור 4 ומוצאים בחישוב ששגיאת העקיבה הנובעת מההפרעה קטנה לערך
(2)
ביצוע הערכה של ביטוי זה בתדירות של המתנד,
(3)
- איור 5. תרשים בודה בחוג פתוח של דרגה ליניארית מראה את העלייה החזקה בהגבר של החוג בתדירויות הביטול (10 הרץ ו–20 הרץ) ושיש להן השפע מזערית על התגובה בקרבת תדירות ערב הדיבור שהיא 55 הרץ.
מראה לנו שגיאה בגודל אפס במצב היציב בהפרעות בתדירות שבה אנו בודקים. ניתוח דומה מראה תגובת יחידה עם הזזת פאזה של אפס בין פרופיל המיקום של הפקודה לפיו פרופיל המיקום בפועל כאשר המטרה היא לעקוב אחר פרופיל מחזורי.
בחלק זה הראנו שמתנד באלגוריתם הבקרה פועל כאיבר של “אינטגרטור” על האותות בתדירות מתנד מסוימת. שימוש בריבוי של מתנדים מאפשר ביטול של צורות גלים מורכבות יותר ונותן מענה למקרה של בקרי פעולה חוזרת מלאה. אפשר לממש בקרים אלו בצורה של יחידת תוספת אשר מאפשרת להגברי בקרת PID להישאר ללא שינוי. השתמשנו בכלים מוכרים לכוונון במישור התדר על מנת לקבוע את שולי היציבות (תדירות ערב דיבור [crossover], שולי הפאזה ושולי ההגבר) בעת הפעלה של אלגוריתמי ביטול הרמוניות. עם זאת, כתוצאה מטווח התדירויות המוגבל מאוד שבו אלגוריתם ביטול ההרמוניות פעיל ביותר, הכוונון של מערכות אלו בדרך כלל פשוט ביותר, כל עוד תדירות התיקון נמוכה בהרבה מתדירות ערב הדיבור של המערכת. איור 5 מציג תגובת תדר בחוג פתוח בניסוי של מערכת לדוגמה כשאלגוריתם ביטול ההרמוניות במצב פעיל. השיאים הבולטים של הגבר החוג מתחת לתדירות ערב הדיבור של המערכת נראים בבירור ואפשר גם לראות שההשפעה שלהם ממורכזת במידה מספקת כך שההגבר והפאזה בתדירות ערב הדיבור לא מושפעות באופן יחסי.
דוגמאות יישום
- איור 6. אלגוריתמי ביטול הרמוניות שהופעלו על דרגה סיבובית המותקנת באופן אופקי הפחיתו את שגיאת העקיבה של שורש ממוצע הריבועים פי 12 בערך, במהירות של 60 סל”ד. השגיאות בעלות ההשפעה המכרעת היו חוסר איזון של העומס ושינויים במומנט במחזור הקטבים של המנוע.
מהרגע שמבינים את התפישות הכוללות של עיקרון המודל הפנימי, בקרת הפעולות החוזרות ושל ביטול ההרמוניות, אפשר ליישם אותן באופן נרחב. אחת הדוגמאות היא הבקרה של זרוע הקריאה והכתיבה בכוננים קשיחים. הדיסקים שבכוננים לא מסתובבים בציר אמיתי מושלם אבל בקרת פעולות חוזרות המופעלת על החלק הסינכרוני של תנועת השגיאה משפרת את היכולת של הראש לעקוב אחר התנועה.
מנגנוני סרוו של כלים מהירים המשמשים בפעולות סיבוב אסימטריות מפיקים אף הם תועלת מיישום של בקרת פעולות חוזרות. בעת סיבוב פני המשטח של צורה גלילית (כמו למשל התבנית שממנה יוצרים עדשות מגע לתיקון אסטיגמציה), כלי החיתוך חוזר בעיקרו של דבר לאותה הנקודה עם כל סיבוב של ציר הסיבוב. אפשר לפרק את הנתיב המחזורי הזה של הכלי למקדמים של טור הפורייה שלו עם מתנדים לביטול הרמוניות המופעלים על כל אחד מהם.
חברת Aerotech מתכננת ומייצרת מערכות מדויקות לבקרת תנועה לרבות המכניקה, מעגלי הדחיפה ואלגוריתמי הבקרה. מצאנו שבקרי הפעולות החוזרות שימושיים כך שכללנו אותם כתכונה סטנדרטית. האתגר שלנו לא היה נעוץ באלגוריתמים עצמם (ברשותנו ספריה בת 3 שנים של פרסומים טכניים שעליה יכולנו להתבסס), אלא בהכללה של התכונות השימושיות ביותר בממשק ידידותי למשתמש שיהיה נגיש ללא צורך ברמה יוצאת דופן של הדרכה. אחד היישומים הפשוטים היה של מערכת עם דרגה מסתובבת המותקנת באופן אופקי. ללקוח נדרש שיפור של היציבות במהירות, ואנו מצאנו שחוסר איזון (מקום אחד בכל סיבוב) והפסיעה של קוטבי המנוע (תשע פעמים בכל סיבוב) היו איברים בעלי השפעה מכרעת. השפעה זו נראית בבירור באיור 6 אשר מציג את שגיאת המיקום שנמדדה כשהדרגה הסתובבה ב–60 סל”ד. הפעלנו אלגוריתמי ביטול הרמוניות בתדירויות אלו והפחתנו את שגיאת העקיבה של שורש ממוצע הריבועים (RMS) מ–33 arc–sec ל–1.7 arc–sec, הפחתה של פי 12.
מסקנות
במאמר זה הצגנו את התפישה הכוללת של עיקרון המודל הפנימי של מערכות בקרה עם משוב והראינו כיצד היא הובילה לפיתוח של בקרי פעולות חוזרות. כמו כן הצגנו מקרה אף פשוט יותר, של אלגוריתמי ביטול הרמוניות. הפרעות מחזוריות נפוצות ביישומים של בקרת תנועה מדויקת וזיהוי המקומות והמקרים שבה אפשר להשתמש באלגוריתמים אלו מספק למהנדס מערכות הבקרה כלי יעיל נוסף שמאפשר ביצוע ניתוח עם הבנה טובה של טכניקות במישור התדר.
הכתבה נמסרה באדיבות חברת להט.
